Question

已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，請根據題中所給的條件，解答下列問題：
（1）如圖1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度數．
（2）通過以上的計算你發現∠EAD和∠ACB-∠B之間的關系應為：

∠ACB-∠B=2∠EAD

．
（3）在圖2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的結論仍然成立嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）先求出∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，再根據角平分線的定義，得出∠BAC=90°，則根據三角形內角和定理得出∠ACB=90°-∠B，故求出∠B的度數即可．而在直角△ABD中，∠B=90°-∠BAD=30°；
（2）由（1）的計算發現∠EAD和∠ACB-∠B之間的關系應為：∠ACB-∠B=2∠EAD；
（3）先根據三角形內角和定理及垂直的定義，得出∠ACB-∠B=∠BAD+∠CAD，再由角平分線的定義得出結論∠ACB-∠B=2∠EAD．

解答：解：（1）∵∠BAD=60°，∠EAD=15°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=90°．
∵AD⊥BC，∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°；

（2）∵（1）中∠EAD=15°，∠ACB-∠B=60°-30°=30°，發現∠ACB-∠B=2∠EAD，
∴推測∠ACB-∠B=2∠EAD；

（3）在圖2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的結論仍然成立．
理由如下：
∵在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAE=∠CAE，
∴∠ACB-∠B=90°+∠CAD-（90°-∠BAD）=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，∠CAD=∠EAD-∠CAE，
∴∠ACB-∠B=2∠EAD+∠BAE-∠CAE=2∠EAD．

點評：本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線、垂直的定義及角的和差，屬于基礎題型，難度中等．