Question

（本小題滿分9分）
如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于點A、C，與y軸交于點B，A（，0），且△AOB～△BOC。

（1）求C點坐標、∠ABC的度數及二次函數的關系式；
（2）在線段AC上是否存在點M（m，0），使得以線段BM為直徑的圓與邊BC交于P點（與點B不同），且以點P、C、O為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

（1）y＝－
（2）m的值為或－1.解析:
解：（1）由題意，得B（0，3）
∵△AOB∽△BOC，
∴∠OAB＝∠OBC，.
∴.
∴OC＝4， ∴C（4，0）.
∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OBC+∠OBA＝90°.
∴∠ABC＝90°.
∵y＝圖象經過點A（－，0），C（4，0），
∴
∴y＝－.
（2）①如圖1，當CP＝CO時，點P在以BM為直徑的圓上，因為BM為圓的直徑.

∴∠BPM＝90°，  ∴PM∥AB
∴△CPM∽△CBA.
∴，得CM＝5.
∴m＝－1.
②如圖2，當PC＝PO時，點P在OC垂直平分線上，得PC＝2.5.
由△CPM∽△CBA，得CM＝.
∴m＝4－.
③當OC＝OP時，M點不在線段AC上.
綜上所述，m的值為或－1.