Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其 中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．

（1）當t=2秒時，求PQ的長；

（2）求出發時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？

（3）若Q沿B→C→A方向運動，則當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．（直接寫答案）

Answer 1

【答案】（1）2;（2）秒;（3）5.5秒或6秒或6.6秒.

【解析】試題分析：（1）可求得AP和BQ，則可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的長；

（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據等腰三角形的性質可得到BP=BQ，可得到關于t的方程，可求得t；

（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的值．

試題解析：（1）（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，

∵∠B=90°，

在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=

（2）根據題意得：BQ=BP，

即2t=8﹣t，解得：t=；

即出發時間為秒時，△PQB是等腰三角形；

（3）分三種情況：

①當CQ=BQ時，如圖1所示：則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當CQ=BC時，如圖2所示：

則BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒．

③當BC=BQ時，如圖3所示：

過B點作BE⊥AC于點E，則BE=4.8（cm）

∴CE==3.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時， △BCQ為等腰三角形．