Question

（2005•棗莊）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，⊙O₁和⊙O₂分別是△ABC和△ADC的內切圓，則O₁O₂=    ．

Answer 1

【答案】分析：本題的解題思想是通過構造一直角三角形，把線段O₁O₂放到一直角三角形中，再利用勾股定理就可解得．
解答：解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12；
∴AC=13，△ABC≌△CDA，則⊙O₁和⊙O₂的半徑相等．
如圖，過O₁作AB、BC的垂線分別交AB、BC于N、E，過O₂作BC、CD、AD的垂線分別交BC、CD、AD于F、G、H；
∵∠B=90°，
∴四邊形O₁NBE是正方形；
設圓的半徑為r，根據切線長定理5-r+12-r=13，解得r=2，
∴BE=BN=2，
同理DG=HD=CF=2，
∴CG=FO₂=3，EF=12-4=8；
過O₁作O₁M⊥FO₂于M，則O₁M=EF=8，FM=BN=2，
∴O₂M=1，
在Rt△O₁O₂M中，O₁O₂==．
點評：本題主要考查了三角形的內切圓的性質及切線長定理，作輔助線是解題的關鍵．