Question

在圓內接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F為弧AD上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．
⑴求證△ABD為等腰三角形．
⑵求證AC•AF=DF•FE

Answer 1

⑴由圓的性質知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD為等腰三角形．
⑵∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由“圓的內接四邊形外角等于它的內對角”知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE②  由①②得△DCA∽△FAE
∴AC：FE=CD：AF
∴AC•AF=" CD" •FE
而CD=DF，
∴AC•AF=DF•FE

解決此題關鍵要用到與圓相關的性質、定理以及三角形相似的判定，等角對等邊。
有一定的幾何知識的綜合性。考查學生審圖，分析圖中邊角關系的解題技能。