Question

某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完，該公司的年產量為6千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤y₁（元）與國內銷售數量x（千件）的關系為：若在國外銷售，平均每件產品的利潤y₂（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系為：
（1）用x的代數式表示t為：t＝      ；當0＜x≤4時， y₂與x的函數關系為y₂＝      ；當      ≤x＜      時，y₂＝100；
（2）求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤w（千元）與國內的銷售數量x（千件）的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（3）該公司每年國內、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

Answer 1

（1）6－x，5x＋80，4，6；（2）；（3）該公司每年國內、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元.

試題分析：（1）由該公司的年產量為6千件，每年可在國內、國外市場上全部售完，可得國內銷售量+國外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6－x；根據平均每件產品的利潤y₂（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系以及t=6－x即可求出y₂與x的函數關系：當0＜x≤4時，y₂=5x+80；當y₂=100時，，即，解得；（2）根據總利潤=國內銷售的利潤+國外銷售的利潤，結合函數解析式，分三種情況討論：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點式，再根據二次函數的性質，求出三種情況下的最大值，再比較即可.
試題解析：（1）6－x；5x＋80；4，6.
（2）分三種情況：
①當0＜x≤2時，；
②當2＜x≤4時，；
③當4＜x＜6時，.
綜上所述，.
（3）當0＜x≤2時，，此時x=2時，w_最大=600；
當2＜x≤4時，，此時x=4時，w_最大=640；
當4＜x＜6時，，∴4＜x＜6時，w＜640.
綜上所述，x=4時，w_最大=640.
故該公司每年國內、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元.