Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是和⊙O相切于點B的切線，⊙O的弦AD平行于OC，若OA=2，且AD+OC=6，則CD=

 

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Answer 1

分析：連接BD，根據AD∥OC，易證得OC⊥BD，根據垂徑定理知：OC垂直平分BD，可得CD=CB，因此只需求出CB的長即可；
延長AD，交BC的延長線于E，則OC是△ABC的中位線；設未知數，表示出OC、AD、AE的長，然后在Rt△ABE中，表示出BE的長；最后根據切割線定理即可求出未知數的值，進而可在Rt△CBO中求出CB的長，即CD的長．

解答：解：連接BD，則∠ADB=90°；
∵AD∥OC，
∴OC⊥BD；
根據垂徑定理，得OC是BD的垂直平分線，即CD=BC；
延長AD交BC的延長線于E；
∵O是AB的中點，且AD∥OC；
∴OC是△ABE的中位線；
設OC=x，則AD=6-x，AE=2x，DE=3x-6；
Rt△ABE中，根據勾股定理，得：BE²=4x²-16；
由切割線定理，得BE²=ED•AE=2x（3x-6）；
∴4x²-16=2x（3x-6），解得x=2，x=4；
當x=2時，OC=OB=2，由于OC是Rt△OBC的斜邊，顯然x=2不合題意，舍去；
當x=4時，OC=4，OB=2；
在Rt△OBC中，CB=

OC2-OB2

=2

3

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∴CD=CB=2

3

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點評：本題主要考查了圓周角定理、平行線的性質、切割線定理、中位線定理等知識，綜合性強，難度較大．