Question

已知，直線y=-

2

3

x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且點(diǎn)P（1，a）為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求三角形ABC的面積S_△ABC；
（2）請(qǐng)說(shuō)明不論a取任何實(shí)數(shù)，三角形BOP的面積是一個(gè)常數(shù)；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理得到AB的長(zhǎng)，等腰Rt△ABC的面積為AB平方的一半；
（2）三角形BOP的底邊BO=2，BO邊上的高為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)1，所以它的面積是一個(gè)常數(shù)1；
（3）實(shí)際上給定△ABP的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)．利用面積和差求△ABP的面積，注意要分類討論．

解答：解：（1）令y=-

2

3

x+2中x=0，得點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2）；
令y=0，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0）．
由勾股定理可得|AB| =

13

，
所以S_△ABC=6.5；

（2）不論a取任何實(shí)數(shù)，三角形BOP都可以以BO=2為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離1為高，
所以S_△BOP=1為常數(shù)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，
因?yàn)?span id="7lflppx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">S△ABO=3， S△APO=-

3

2

a，S_△BOP=1，
所以S△ABP=S△ABO+S△APO-S△BOP=S△ABC=

13

2

，
即3-

3

2

a-1=

13

2

，解得a=-3，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，
∵S_△ABO=3，S_△APO=

3

2

a，S_△BOP=1，
∴S_△ABP=S_△BOP+S_△AOP-S_△ABO=

13

2

，
即1+

3

2

a-3=

13

2

，
用類似的方法可解得a=

17

3

．

點(diǎn)評(píng)：掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；會(huì)用坐標(biāo)表示線段；掌握用面積的和差表示不規(guī)則圖形的面積．