Question

如圖，直線y=kx+b（k≠0）與x軸、y軸分別交于點A（3，0），B（0，

3

），圓心P的坐標為（-1，0），⊙P與y軸相切于點O；
（1）求直線y=kx+b的解析式及∠BAO，∠PBO的度數；
（2）若⊙P沿x軸向右移動，當⊙P與該直線相切時，求點P的坐標；
（3）在⊙P沿x軸向右移動的過程中，當⊙P與該直線相交時，求橫坐標為整數的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）要求直線的解析式，用待定系數法將已知點的坐標代入就直接可以求出解析式．
（2）連接CP₁，根據相似三角形的性質求出AP₁的值，求出P₁O，就可以求出P₁的坐標．
（3）利用（2）的方法求出P₂的坐標，從而可以求出P₁P₂之間的整數點的坐標．

解答：解：（1）把A、B的坐標分別代入解析式為：

0=3k+b 3 =b

，
解得：

b= 3 k=- 3 3

，
∴直線y=kx+b的解析式為：y=-

3

3

x+

3

，
∵tan∠BAO=

3

3

，∴∠BAO=30°，
∵tan∠PBO=

3

3

，∴∠PBO=30°，

（2）連接CP₁在直角三角形PBO和直角三角形ABO中由勾股定理可以求出：
AB=2

3

，OB=

3

，AO=3，OP=1，PB=2，
由勾股定理的逆定理可知△ABP為直角三角形．
∴連接CP₁⊥AB，
∴△ABP∽△ACP₁
∴

CP1

PA

=

AP1

AP

∴

1

2

=

AP1

4

∴AP₁=2
同理可以求出AP₂=2
∴OP₁=1，OP₂=5
∴當⊙P與該直線相切時，P（1，0）或P（5，0）

（3）由（2）可知當點P在P₁、P₂之間移動時，⊙P與直線相交，
∵大于1小于5的整數有：2，3，4．
∴⊙P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的坐標有：P（2，O），P（3，0），（或4，0）．

點評：本題是一次函數的綜合試題，考查了用待定系數法求一次函數的解析式，勾股定理的運用，圓切線的性質，30°的特殊直角三角形的性質