Question

對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似。例如，如圖①，△ABC∽△A’B’C’且沿周界ABCA與A’B’C’A’環繞的方向相同，因此△ABC 與△A’B’C’互為順相似；如圖②，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA與 A’B’C’A’環繞的方向相反，因此△ABC 與△A’B’C’互為逆相似。

（1）根據圖I、圖II和圖III滿足的條件，可得下列三對相似三角形：①△ADE與△ABC；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ。其中，互為順相似的是       ；互為逆相似的是       。(填寫所有符合要求的序號)

（2）如圖③，在銳角△ABC中，ÐA<ÐB<ÐC，點P在△ABC的邊上(不與點A、B、C重合)。過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似。請根據點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）①②；③

（2）

【解析】解：（1）①②；③。

（2）根據點P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況。

第一種情況：如圖①，點P在BC(不含點B、C)上，過點P只能畫出2條截線PQ₁、PQ₂，分別使ÐCPQ₁=ÐA，ÐBPQ₂=ÐA，此時△PQ₁C、△PBQ₂都與△ABC互為逆相似。

第二種情況：如圖②，點P在AC(不含點A、C)上，過點B作ÐCBM=ÐA，BM交AC于點M。

當點P在AM(不含點M)上時，過點P₁只能畫出1條截線P₁Q，使ÐAP₁Q=ÐABC，此時△AP₁Q與△ABC互為逆相似；

當點P在CM上時，過點P₂只能畫出2條截線P₂Q₁、P₂Q₂，分別使ÐAP₂Q₁=ÐABC，ÐCP₂Q₂=ÐABC，此時△AP₂Q₁、△Q₂P₂C都與△ABC互為逆相似。

第三種情況：如圖③，點P在AB(不含點A、B)上，過點C作ÐBCD=ÐA，ÐACE=ÐB，CD、CE分別交AC于點D、E。

當點P在AD(不含點D)上時，過點P只能畫出1條截線P₁Q，使ÐAP₁Q=ÐABC，此時△AQP₁與△ABC互為逆相似；

當點P在DE上時，過點P₂只能畫出2條截線P₂Q₁、P₂Q₂，分別使ÐAP₂Q₁=ÐACB，ÐBP₂Q₂=ÐBCA，此時△AQ₁P₂、△Q₂BP₂都與△ABC互為逆相似；

當點P在BE(不含點E)上時，過點P₃只能畫出1條截線P₃Q’，使ÐBP₃Q’=ÐBCA，此時△Q’BP₃與△ABC互為逆相似。

（1）根據定義作出判斷。

（2）分點P在BC(不含點B、C)上、點P在AC(不含點A、C)上、點P在AB(不含點A、B)上三種情況，根據定義討論。