Question

【題目】如圖，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△B2D1C1的面積為S1，△B3D2C2的面積為S2，…，△Bn+1DnCn的面積為Sn，則S2= ；Sn= ．（用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】S2=；Sn=．

【解析】

試題分析：由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，則Sn的值也可用含n的式子表示出來．

解：由于各三角形為等邊三角形，且各邊長為2，過各三角形的頂點B1、B2、B3…向對邊作垂線，垂足為M1、M2、M3，

∵△AB1C1是等邊三角形，

∴AD1=AC1sin60°=2×=，

∵△B1C1B2也是等邊三角形，

∴C1B1是∠AC1B2的角平分線，

∴AD1=B2D1=，

故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；

S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=2﹣=；

作AB∥B1C1，使AB=AB1，連接BB1，則B2，B3，…Bn在一條直線上．

∵Bn Cn∥AB，

∴==，

∴BnDn=AB=，

則DnCn=2﹣BnDn=2﹣=．

△BnCnBn+1是邊長是2的等邊三角形，因而面積是：．

△Bn+1DnCn面積為Sn===．

即第n個圖形的面積Sn=．