Question

已知，如圖，等邊三角形△ABC中，DG∥BC，點E在GD的延長線上，且DE=DC，連接AF、BD．
（1）求證：△AGE≌△DAB；
（2）F是BC上的一點，連接AF、EF，如果△AEF是等邊三角形，那么四邊形BDEF是什么四邊形？并請說明理由．

Answer 1

分析：（1）充分利用△ABC是等邊三角形的條件，易找出邊角邊的判別條件．
（2）首先猜想四邊形BDEF是平行四邊形．根據已知條件已有一組對邊平行（DE∥BF），只需再證出一組對邊平行（DB∥EF）即可（通過證△AFC≌△GAE，進而證DE=BF也可，但稍麻煩），利用第（1）小題的結論，結合已知條件，可通過同位角相等證得DB∥EF．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，DG∥BC，
∴△AGD是等邊三角形，
∴AG=GD=AD，∠AGD=60°，
∵DE=DC，
∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，
在△AGE和△DAB中，

AG=AD ∠AGD=∠BAD GE=AB

，
∴△AGE≌△DAB （SAS）；

（2）四邊形BDEF是平行四邊形．
理由如下∵△AGE≌△DAB，
∴∠ABD=∠AEG，
∵△ABC，△AEF是等邊三角形，
∴∠ABC=∠AEF，
∴∠ABC-∠ABD=∠AEF-∠AEG，即∠DEF=∠DBC，
∵GE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠EFC=∠DBC，
∴DB∥EF，
又∵DE∥BF，
∴四邊形BDEF是平行四邊形．

點評：此題考查了全等三角形的判別和性質、等邊三角形的判別和性質以及平行四邊形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．