Question

如圖，一次函數（m＜0）的圖象經過定點A，與x軸交于點B，與y軸交于點E，AD⊥y軸于點D，將射線AB沿直線AD翻折，交y軸于點C．

（1）用含m的代數式分別表示點B，點E的坐標；
（2）若△ABC中AC邊上的高為5，求m的值；
（3）若點P為線段AC中點，是否存在m的值，使△APD與△ABD相似？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）B（，0），E（0，）（2） （3）存在m的值，使△APD與△ABD相似，m的值為或或

試題分析：（1）當y=0時，，∴，∴B（，0）
當x=0時，y=，∴E（0，）． 
（2）由直線經過定點A，∴定點A（－4，3）． 
又∵AD⊥y軸，∴D（0，3）．
由翻折可知：CD=ED==，
∴CE=2CD=． 
當點B在原點右邊時，
S_△ABC= S_△ACE+ S_△BCE=
===12．
當點B在原點左邊時，
S_△ABC= S_△ACE－S_△BCE===12．
∴S_△ABC=12是不變化的． 
∵AC邊上的高為5，
∴=12，∴AC=． 
∵AD=4，∠ADC=90°，CD=，
∴，解得，
又∵m＜0，∴． 
（3）存在m的值，使△APD與△ABD相似．  
①當點B在原點右邊時，
只有△APD∽△ADB一種情形．
由AP=PD可得AD=DB=4．
∵OD=3，∴OB=，∴=，解得 ．
②當點B在原點左邊時，
若△APD∽△ABD時，AB=DB，∴=－2，解得 ．
若△APD∽△ADB時，AD=DB=4，
∵OD=3，∴OB=，∴=－，解得 ．
∴存在m的值，使△APD與△ABD相似，
m的值為或或． 
點評：本題考查一次函數，相似三角形，解答本題需要考生掌握一次函數的概念和性質，熟悉相似三角形的判定方法，會證明兩個三角形相似