Question

附加題：E是四邊形ABCD中AB上一點（E不與A、B重合）．?
（1）如圖，當四邊形ABCD是正方形時，△ADE、△BCE和△CDE的面積之間有著怎樣的關系？證明你的結論．
（2）若四邊形ABCD是矩形時，（1）中的結論是否仍然成立？為什么？ABCD是平行四邊形呢？
（3）當四邊形ABCD是梯形時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．?

Answer 1

分析：正方形，矩形，平行四邊形圖形中的三個三角形都是等高的三角形，它們的面積關系，就要看底邊的關系了，由于AE+EB=CD，所以S_△ADE+S_△BCE=S_△CDE在這三個圖形中都成立；梯形不具備這一特征，就不一定成立．

解答：解：①S_△ADE+S_△BCE=S_△CDE?
方法1：同底同高?
S_△ADE+S_△BCE=

1

2

AE×AD+

1

2

EB×AD=

1

2

AD(AE+EB)=

1

2

AD×AB=S△DEC．
方法2：因為過E作EF∥BC交DC于F，則四邊形AEFD和EBCF是矩形
所以S_△AED=S_△EFD，S_△EBC=S_△EFC，?
所以S_△ADE+S_△BCE=S_△EFD+S_△EFC=S_△DEC．

②四邊形ABCD是矩形時（1）中結論成立，方法同上
當四邊形ABCD是平行四邊形時，結論還是成立．

③當四邊形ABCD是梯形時，①中結論當E點為AB中點時成立，其它情況不成立不成立．
理由如下：
設S_△ADE=S₁，S_△BCE=S₂，S_△DEC=S₃，
梯形ABCD上底為a，下底為b面積為S，如圖．
則S1=

1

2

bh1；S2=

1

2

ah2S3=S-S1-S2=

1

2

(a+b)(h1+h2)-

1

2

ah2-bh1=

1

2

(ah1+bh2)
如果S_△ADE+S_△BCE=S_△DEC，則有

1

2

(bh1+ah2)=

1

2

(ah1+bh2)，a（h₁-h₂）=b（h₁-h₂）．
如果h₁=h₂，則E為AB中點，如果h₁≠h₂，則a=b，四邊形ABCD是平行四邊形．

點評：解答本題要充分利用正方形、矩形，平行四邊形的對邊相等的性質；觀察圖形的底與高的關系，利用等底，等高的兩個三角形面積相等，確定三角形的面積關系．