Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作直線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CB=2，CE=4，①求圓的半徑；②求DE、DF的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）①3；②，.

試題分析：（1）連接OE，證OE∥AD，即可得出OE⊥CD根據切線判定推出即可；（2）證△COE∽△CAD，求出DE，AD，證△DEF∽△DAF，推出DE2=DF×AD，即可求出DF．
試題解析：（1）如圖，連接OE，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA.
∵AE平分∠CAD，∴∠OAE=∠DAE. ∴∠OEA=∠DAE. ∴OE∥AD.
∵DE⊥AD，∴OE⊥DE.
∵OE為半徑，∴CD是⊙O的切線。

（2）①設⊙O的半徑是r，
∵CD是⊙O的切線，∴∠OEC=90°.
由勾股定理得：OE²+CE²=OC²，即，解得r=3，即⊙O的半徑是3
②∵由（1）知：OE∥AD，∴，△COE∽△CAD.
∴. ∴. ∴，解得.
如圖，連接BE、EF，
∵AB是直徑，∴∠BEA="90°." ∴∠ABE+∠BAE="90°."
∵B、E、A、F四點共圓，∴∠EFD=∠ABE.
∵AE平分∠CAD，∴∠BAE=∠DAE. ∴∠DAE+∠EFD=90°.
∵ED⊥AD，∴∠FED+∠EFD="90°." ∴∠DAE=∠FED.
∵∠D=∠D，∴△EFD∽△AED. ∴，∴.