Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，過B點作BH⊥AE，垂足為點H，延長BH交CD于點F，連接AF.

（1）求證AE＝BF；

（2）若正方形的邊長是5，BE＝2，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據正方形的性質得AB＝BC，再根據同角的余角相等得∠BAE＝∠EBH，再利用“角角邊”證明△ABE≌△BCF，根據全等三角形的對應邊相等得AE＝BF；

（2）根據全等三角形的對應邊相等得BE＝CF，再利用勾股定理計算即可得出結論.

(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.

∴∠BAE＋∠AEB＝90°.

∵BH⊥AE，∴∠BHE＝90°.

∴∠AEB＋∠EBH＝90°.

∴∠BAE＝∠EBH.

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF(ASA)．

∴AE＝BF.

(2)由(1)得△ABE≌△BCF，

∴BE＝CF.

∵正方形的邊長是5，BE＝2，

∴DF＝CD－CF＝CD－BE＝5－2＝3.

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF＝＝＝.