Question

12．如圖，∠AOB=120°，射線OC從OA開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘20°；射線OD從OB開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的速度為每分鐘5°，OC和OD同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t（0≤t≤15）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，射線OC與OD重合；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，射線OC⊥OD；
（3）試探索：在射線OC與OD旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OC，OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的取值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得，射線OC與OD重合時(shí)，20t=5t+120，可得t的值；
（2）根據(jù)題意可得，射線OC⊥OD時(shí)，20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，可得t的值；
（3）分三種情況，一種是以O(shè)B為角平分線，一種是以O(shè)C為角平分線，一種是以O(shè)D為角平分線，然后分別進(jìn)行討論即可解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
20t=5t+120
解得t=8，
即t=8min時(shí)，射線OC與OD重合；
（2）由題意得，
20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，
解得，t=2或t=14
即當(dāng)t=2min或t=14min時(shí)，射線OC⊥OD；
（3）存在，
由題意得，120-20t=5t或20t-120=5t+120-20t或20t-120-5t=5t，
解得t=4.8或t=$\frac{48}{7}$或t=12，
即當(dāng)以O(shè)B為角平分線時(shí)，t的值為4.8min；當(dāng)以O(shè)C為角平分線時(shí)，t的值為$\frac{48}{7}$min，當(dāng)以O(shè)D為角平分線時(shí)，t的值為12min．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的計(jì)算、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．