Question

【題目】已知直線與軸，軸分別交于點，將對折，使點的對稱點落在直線上，折痕交軸于點．

（1）求點的坐標；

（2）若已知第四象限內的點，在直線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）設經過點且與軸垂直的直線與直線的交點為為線段上一點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0）；（2）不存在；（3）0≤|QAQO|≤4．

【解析】

（1）由勾股定理得：CA2＝CE2＋AE2，即（8a）2＝a2＋42，即可求解；

（2）當四邊形OPAD為平行四邊形時，根據OA的中點即為PD的中點即可求解；

（3）當點Q為AO的垂直平分線與直線BC的交點時，QO＝QA，則|QAQO|＝0，當點Q在點B處時，|QAQO|有最大值，即可求解．

解：（1）連接CE，則CE⊥AB，

與x軸，y軸分別相交于點A，B，

則點A、B的坐標分別為：（8，0）、（0，6），則AB＝10，

設：OC＝a，則CE＝a，BE＝OB＝6，

AE＝106＝4，CA＝8a，

由勾股定理得：CA2＝CE2＋AE2，即（8a）2＝a2＋42，

解得a＝3，

故點C（3，0）；

（2）不存在，理由：

將點B、C的坐標代入一次函數表達式y＝kx＋b并解得：

直線BC的表達式為：y＝2x＋6，

設點P（m，n），當四邊形OPAD為平行四邊形時，

OA的中點即為PD的中點，

即：m＋＝8，n＝0，

解得：m＝，n＝，

當x＝時，y＝2x＋6＝1，

故點P不在直線BC上，

即在直線BC上不存在點P，使得四邊形OPAD為平行四邊形；

（3）當x＝時，y＝2x＋6＝5，故點F（，5），

當點Q為AO的垂直平分線與直線BC的交點時，QO＝QA，

則|QAQO|＝0，

當點Q在點B處時，|QAQO|有最大值，

此時：點A（8，0）、點O（0，0）、點Q（0，6），

則AQ＝10，QO＝6，|QAQO|＝4，

故|QAQO|的取值范圍為：0≤|QAQO|≤4．