Question

【題目】如圖，在中，于點(diǎn). 點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，兩點(diǎn)都停止. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

（1）求線段的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？

（3）是否存在某一時(shí)刻，使得分的面積為1：11？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）為3秒或秒時(shí)，是直角三角形；

（3）當(dāng)時(shí)使得分的面積為1：11.

【解析】

（1）利用勾股定理可求出AB長(zhǎng)，再用等積法就可求出線段CD的長(zhǎng)，

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長(zhǎng)，再分PQ⊥CD與PQ⊥AC兩種情況進(jìn)行討論；

（3）過(guò)點(diǎn)作于，通過(guò)三角形相似即可用t的代數(shù)式表示QE，從而可以求出和；利用分的面積為1：11，分兩種情況討論，① ，②，建立t的方程，解方程即可解決問(wèn)題．

解：（1）在中，根據(jù)勾股定理得，，

∵，

∴，

（2）由（1）知，，由運(yùn)動(dòng)知，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵是直角三角形，

∴①

當(dāng)PQ⊥CD時(shí)，如圖a

∴，

∴，

∴，

∴

②當(dāng)PQ⊥AC，如圖b．

∴，

∴，

∴

∴，

即：為3秒或秒時(shí)，是直角三角形

（3）假設(shè)存在，如圖，

在中，根據(jù)勾股定理得，，

過(guò)點(diǎn)作于，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∵分的面積為1：11，

∴①當(dāng)時(shí)，

∴，

∴，

解得，

②當(dāng)時(shí)，

，

∴，

而，

此方程無(wú)解，即：此種情況不存在，

綜上所述，當(dāng)時(shí)使得分的面積為1：11.