Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D為平面內的任意一點，且滿足CD＝AC，若△ADB是以AD為腰的等腰三角形，則∠CDB的度數為_____．

Answer 1

【答案】45°或135°．

【解析】

當△ADB是以AD為腰的等腰三角形，可以分兩種情況進行討論：①AD＝AB，②AD＝BD；

①當AD＝AB時，又分兩種情況：

當點D在AC邊上方時，如圖1所示．由△ACD為等邊三角形，得∠CAD＝60°，根據角的關系可得結論；

當點D在AC邊下方時，如圖2所示．同理可得結論；

②當AD＝BD時又分兩種情況：

當點D在BC的上方，如圖3所示．作輔助線，證明∠EDA＝∠ADC，根據角平分線的性質得：AF＝AE＝AB＝AC，利用直角三角形30°角的判定得：Rt△AFC中，∠ACF＝30°，從而得出結論；

當D在BC的下方時，如圖4，同理構建矩形AEFC，由CF＝AB＝AC＝CD，得Rt△CFD中，∠CDF＝30°，可得結論．

解：①當AD＝AB時，

∵AB＝AC，CD＝AC，AD＝AB，

∴AC＝AD＝CD，

∴△ACD為等邊三角形．

當點D在AC邊上方時，如圖1所示．

∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，△ACD為等邊三角形，

∴∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°．

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝15°，

∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝60°﹣15°＝45°；

當點D在AC邊下方時，如圖2所示．

∵∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝30°．

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝75°，

∴∠CDB＝∠ADB+∠ADC＝75°+60°＝135°．

②當AD＝BD時，

當點D在BC的上方，如圖3所示．

過D作DE⊥AB于E，過A作AF⊥CD于F，

∴∠BED＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BED＝∠BAC，

∴ED∥AC，

∴∠EDA＝∠DAC，

∵AD＝CD，

∴∠ADC＝∠DAC，

∴∠EDA＝∠ADC，

∴AF＝AE＝AB＝AC，

Rt△AFC中，∠ACF＝30°，

∴∠ADC＝＝75°，

∴∠ADB＝2∠ADE＝2∠ADC＝150°，

∴∠CDB＝360°﹣150°﹣75°＝135°；

當D在BC的下方時，如圖4，

過D作DE⊥AC于E，過C作CF⊥ED于F，

∴∠AEF＝∠BAC＝∠EFC＝90°，

∴四邊形AEFC是矩形，

∴CF＝AE，

∵AD＝BD，DE⊥AB，

∴AE＝AB，∠ADE＝∠BDE，

∴CF＝AB＝AC＝CD，

Rt△CFD中，∠CDF＝30°，

∵AC∥ED，

∴∠CAD＝∠ADE，

∵AC＝CD，

∴∠CAD＝∠ADC，

∴∠CDA＝∠ADE＝∠CDF＝15°，

∴∠ADB＝30°，

∴∠CDB＝45°．

綜上所述，則∠CDB的度數為45°或135°；

故答案為：45°或135°．