Question

如圖，點O是已知線段AB上一點，以OA為半徑的⊙O交線段AB于點C，以線段OB為直徑的圓與⊙O的一個交點為D，過點A作AB的垂線交BD的延長線于點M．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若BC，BD的長度是關于x的方程x²-6x+8=0的兩個根，求⊙O的半徑；
（3）在上述條件下，求線段MD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵OB是直徑，
∴∠ODB=90°，
∴BD是圓的切線．

（2）解：求得方程的兩個根分別是x=2或x=4，
則BC=2，BD=4；
∵BD²=BC•BA，
∴BA=8，AC=BA-BC=6，
∴OC=AC=3．
∴圓O的半徑是3．

（3）解：設MD=x，則MA=x．
根據（2）得：AB=8．
根據勾股定理，得x²+8²=（x+4）²，
∴x=6．
分析：（1）連接OD，只需證明OD⊥BM，根據直徑所對的圓周角是直角即可證明；
（2）根據方程的兩個根確定BC，BD的長，再根據切割線定理求得圓的半徑；
（3）根據切線長定理和勾股定理列方程計算．
點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、切線的性質定理及其判定定理、勾股定理．