Question

如圖，已知等邊三角形ABC中，點D、E、F分別為AB、AC、BC邊的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時，△DMN也隨之整體移動）．
（1）如圖①，當點M在BC邊上時，求證：MF=NE．
（2）若點M在點B左側，其他條件不變時，請你在圖②中作出相應的圖形（不寫作法），MF與NE相等的結論是否仍然成立？請直接寫出結論，不必證明或說明理由．
（3）請你利用（2）中所作出的圖形來判斷點F是否在直線NE上？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DE，DF，EF．根據三角形的中位線定理得到等邊三角形DEF，再根據SAS證明△DMF≌△DNE，從而得到結論；
（2）類似（1）中的證明思路，顯然結論仍然成立；
（3）連接DF，NF，EF．根據SAS證明△DBM≌△DFN，從而得到∠DFN=∠DBM=120°，再根據平角定義即可證明．

解答：（1）證明：連接DE，DF，EF．（1分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵DE，DF，EF為三角形的中位線．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．（3分）
又∵DM=DN，
∴△DMF≌△DNE．（4分）
∴MF=NE．（5分）

（2）畫出圖形（如答圖）．（7分）
MF與NE相等的結論仍然成立．（8分）

（3）點F在直線NE上．（9分）
連接DF，NF，EF．
由（1），知DF=

1

2

AC=

1

2

AB=DB．
又∠BDM+∠BDN=60°，∠NDF+∠BDN=60°，
∴∠BDM=∠NDF，
又∵DM=DN，
∴△DBM≌△DFN．（10分）
∴∠DFN=∠DBM=120°．
又∵∠DFE=60°．
∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180°．（11分）
可得點F在NE上．（12分）

點評：此題綜合運用了等邊三角形的性質和判定、全等三角形的判定和性質．全等是證明線段相等的常用方法，證明三點共線的方法是利用平角定義．