Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b（k≠0）與反比例函數y＝（m≠0）的圖象相交于A、B兩點，過點A作AD⊥x軸于點D，AO＝5，OD＝AD，B點的坐標為（﹣6，n）．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）P是y軸上一點，且△AOP是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y，y＝x+2；（2）當P點坐標為（0，8），（0，5），（0，﹣5）或（0，）時，△AOP是等腰三角形．

【解析】

（1）先根據勾股定理求出OD＝3，AD＝4，得出點A（3，4），進而求出反比例函數解析式，再求出點B坐標，最后用待定系數法求出直線AB解析式；

（2）設出點P坐標，進而表示出OP，AP，OA，利用等腰三角形的兩邊相等分三種情況建立方程求解即可得出結論．

（1）∵AD⊥x軸，∴∠ADO＝90°．

在Rt△AOD中，AO＝5，ODAD，∴AD＝4，OD＝3，∴A（3，4），∴k＝3×4＝12，∴y．

又點B在反比例函數上，∴n2，∴B（﹣6，﹣2）．

∵點A（3，4），B（﹣6，﹣2）在直線AB上，∴，∴，∴AB直線的表達式為yx+2；

（2）設點P（0，m）．

∵A（3，4），O（0，0），∴OA＝5，OP＝|m|，AP．

∵△AOP是等腰三角形，∴分三種情況討論：

①當OA＝OP時，∴|m|＝5，∴m＝±5，∴P（0，5）或（0，﹣5）；

②當OA＝AP時，∴5，∴m＝0（舍）或m＝8，∴P（0，8）；

③OP＝AP時，∴|m|，∴m，∴P（0，）．

綜上所述：當P點坐標為（0，8），（0，5），（0，﹣5）或（0，）時，△AOP是等腰三角形．