Question

如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，∠ABC=30°，以BC所在直線為x軸，以BC邊上的高所在的直線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求直線AC的解析式；
（2）有一動點P以1cm/s的速度從點B開始沿x軸向其正方向運動，設點P的運動為t秒（單位：s）．①當t為何值時，△ABP是直角三角形；②現有另一點Q與點P同時從點B開始，以1cm/s的速度從點B開始沿折線BAC運動，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．試寫出△BPQ的面積S關于t的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出點A及點C的坐標，利用待定系數法可確定直線AC的解析式；
（2）分兩段討論，①點Q在BA段，②點Q在AC段，依次確定BP、QD的長度，繼而可確定△BPQ的面積．

解答：解：（1）∵AB=AC=10cm，∠ABC=30°，
∴OA=5cm，BO=CO=5

3

cm，
∴點A的坐標為（0，5），點C的坐標為（5

3

，0），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
將點A、點C的坐標代入可得：

5 3 k+b=0 b=5

，
解得：

k=- 3 3 b=5

故直線AC的解析式為：y=-

3

3

x+5；
（2）

①當∠APB=90°時，點P與點O重合時，此時BP=5

3

，
即可得t=5

3

；
當∠BAP=90°時，點P位于P₁處，
此時BP₁=

AB

cos∠ABO

=

20 3

3

，
即可得t=

20 3

3

．
綜上可得當t=5

3

或

20 3

3

時，△ABP為直角三角形．
②當點Q位于AB段時，0＜t＜10，

過點Q作QD⊥OB于點D，BQ=t，BP=t，∠ABO=30°，
則QD=

1

2

BQ=

1

2

t
此時S_△BPQ=

1

2

BP×QD=

1

2

t×

1

2

t=

1

4

t²；
當點Q位于AC段時，10≤t＜20，

此時BP=t，CQ=20-t，∠ACO=30°，
則QD=

1

2

CQ=

1

2

（20-t）=10-

1

2

t，
S_△BPQ=

1

2

BP×QD=

1

2

t×（10-

1

2

t）=-

1

4

t²+5t．

點評：本題屬于一次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、解直角三角形及三角形的面積，難點在第二問，注意分段討論，求出△BPQ底邊BP上的高，難度一般．