Question

（2009•長沙）為了扶持大學生自主創業，市政府提供了80萬元無息貸款，用于某大學生開辦公司生產并銷售自主研發的一種電子產品，并約定用該公司經營的利潤逐步償還無息貸款．已知該產品的生產成本為每件40元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其它費用15萬元．該產品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如圖所示．
（1）求月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）當銷售單價定為50元時，為保證公司月利潤達到5萬元（利潤=銷售額-生產成本-員工工資-其它費用），該公司可安排員工多少人？
（3）若該公司有80名員工，則該公司最早可在幾個月后還清無息貸款？

Answer 1

【答案】分析：（1）從圖中看，這是一個分段一次函數，40≤x≤60和60＜x≤80時，函數的表達式不同，每段函數都經過兩點，使用待定系數法即可求出函數關系式；
（2）利用（1）中的函數關系，當銷售單價定為50元時，可計算出月銷售量，設可安排員工m人，利潤=銷售額一生產成本-員工工資-其它費用，列出方程即可解；
（3）先分情況討論出利潤的最大值，即可求解．
解答：解：（1）當40≤x≤60時，令y=kx+b，
則，
解得，
故，
同理，當60＜x≤80時，．
故y=；

（2）設公司可安排員工a人，定價50元時，
由5=（-×50+8）（50-40）-15-0.25a，
得30-15-0.25a=5，
解得a=40，
所以公司可安排員工40人；

（3）當40≤x≤60時，
利潤w₁=（-x+8）（x-40）-15-20=-（x-60）²+5，
則當x=60時，w_max=5萬元；
當60＜x≤80時，
w₂=（-x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-（x-70）²+10，
∴x=70時，w_max=10萬元，
∴要盡早還清貸款，只有當單價x=70元時，獲得最大月利潤10萬元，
設該公司n個月后還清貸款，則10n≥80，
∴n≥8，即n=8為所求．
點評：本題主要考查學生利用待定系數法求解一次函數關系式，一次函數與一次不等式的應用，是一道綜合性較強的代數應用題，能力要求比較高．