Question

如圖，在直角坐標系中，，，以AB為直徑作半⊙P交y軸于M，以AB為一邊作正方形ABCD.

（1）求C、M兩點的坐標；
（2）連結CM，試判斷直線CM是否與⊙P相切？說明你的理由；
（3）在x軸上是否存在一點Q，使周長最小？若存在，求出Q坐標及最小周長，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）C（8，10），M（0，4）；（2）相切；（3），

試題分析：（1）因為ABCD為正方形，且邊長為10，所以易得C點坐標；連接PM，根據P點坐標和半徑求OM可得M點坐標；
（2）根據CM、PM、PC的長判定△PCM為直角三角形，得∠PMC=90°，從而判斷相切；
（3）因CM長度固定，要使△QMC周長最小，只需PM+PC最小．作M關于x軸的對稱點M′，連接CM′，交x軸于Q點，根據對稱性及兩點之間線段最短說明存在Q點．
（1）∵A（﹣2，0），B（8，0），
∴AB=10，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10），
連接MP，PC，

在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）；
（2）在Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP²=125．
在Rt△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM²=100，
∵100+25=125，
∴在△CMP中，CM²+MP²=CP²，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM與⊙P相切．
（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周長最小，即要使MQ+QC最小．故作M關于x軸對稱點M’，連CM’交x軸于點Q，連MQ，此時，△QMC周長最小．

∵C（8，10），M'（0，﹣4），
設直線CM'：y=kx+b（k≠0）
∴，解得 
∴．
∴Q（，0）
∵x軸垂直平分MM’，
∴QM=QM'，
∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C．
在△CEM'中，CE=8，EM'=14
∴
∴△QMC周長最小值為．
∴存在符合題意的點Q，且
此時△QMC周長最小值為．
點評：解答本題的關鍵是熟記要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時熟練掌握兩點之間線段最短在求三角形周長最短中的應用。