Question

（2008•連云港）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CD＞AD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在邊CD上的點E處，折痕為DF．
（1）求證：四邊形ADEF是正方形；
（2）取線段AF的中點G，連接EG，若BG=CD，試說明四邊形GBCE是等腰梯形．

Answer 1

【答案】分析：由題意知，AD=DE，易證四邊形AFED是矩形，∴四邊形AFED是正方形，連接DG由于BG與CD平行且相等，所以邊形BCDG是平行四邊形∴CB=DG，在正方形AFED中，易證△DAG≌△EFG，∴DG=EG=BC，即四邊形GBCE是等腰梯形．
解答：證明：（1））∵△DEF由△DAF折疊而得，
∴∠DEF=∠A=90°，DA=DE，
∵AB∥CD，
∴∠ADE=180°-∠A=90°．
∴∠DEF=∠A=∠ADE=90°．
∴四邊形ADEF是矩形．（4分）
又∵DA=DE，
∴四邊形ADEF是正方形．（5分）

（2）由折疊及圖形特點易得EG與CB不平行，
連接DG，
∵BG∥CD，且BG=CD，
∴四邊形BCDG是平行四邊形．
∴CB=DG．
∵四邊形ADEF是正方形，
∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．
∵G是AF的中點，
∴AG=FG．
在△DAG和△EFG中，
∴△DAG≌△EFG（SAS）．（10分）
∴DG=EG．（11分）
∴EG=BC．
∴四邊形GBCE是等腰梯形．（12分）
點評：本題利用了直角梯形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，及等腰三角形的判定．