Question

已知：如圖， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足為E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF， AF相交于P，M．

(1)求證：AB=CD；

(2)若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數量關系，并說明理由．

　　　　　　　

Answer 1

解：

 

 (1)證明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC．

∵D與A關于E對稱，∴E為AD中點．

∵BC⊥AD，∴BC為AD的中垂線，∴AC=CD．）

在Rt△ACE和Rt△ABE中，

∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．

∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB． 

∴AB=CD．    

          

(2)∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．

∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，          ∴∠MPC=∠CDA．          

∴∠MPF=∠CDM．               

∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．                    

∴AM為BC的中垂線，∴CM=BM．         

∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三線合一)

∴∠CME=∠BME．                    

∵∠BME=∠PMF，

∴∠PMF=∠CME，            

∴∠MCD=∠F(三角形內角和)．