Question

如圖，已知拋物線交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)C（0，4），AB=5OB，設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形．
（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
（4）是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（6，0），AB=5OB，
∴點(diǎn)B（1，0），
設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則由題意可得：，
解之得，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-x+4，
∵y=x²-x+4=（x-）²-，
∴所求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，-）；

（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=x²-x+4，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點(diǎn)E到OA的距離．
∵OA是平行四邊形OEAF的對(duì)角線，
∴S=2S_△OAE=2××OA•|y|=-6y=-6（x²-x+4）=-4x²+28x-24，
自變量x的取值范圍為：1＜x＜6；

（3）根據(jù)題意得：-4x²+28x-24=24，
解之，得x₁=3，x₂=4，
∴所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
∵點(diǎn)E₁（3，-4），
∴OE=5，AE==5，
∴OE=AE，
∴平行四邊形OEAF是菱形，
∵點(diǎn)E₂（4，-4），
∴OE=4，AE==3，
∴不滿足OE=AE，
∴平行四邊形OEAF不是菱形；

（4）∵當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，平行四邊形OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)只能（3，-3），而坐標(biāo)為（3，-3）點(diǎn)不在拋物線上，
∴不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形．
分析：（1）由A（6，0），AB=5OB，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，又由點(diǎn)A，B，C在拋物線上，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，然后利用配方法求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示點(diǎn)E到OA的距離，又由S=2S_△OAE=2××OA•|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，求得自變量x的取值范圍；
（3）由平行四邊形OEAF的面積為24，可得方程：-4x²+28x-24=24，解此方程可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，然后分析OE與AE的關(guān)系，即可判定平行四邊形OEAF是否為菱形；
（4）由當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，平行四邊形OEAF是正方形，可得此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)只能（3，-3），而坐標(biāo)為（3，-3）點(diǎn)不在拋物線上，故可判定不存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定以及正方形的判定等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．