Question

【題目】某數學活動小組在做角的拓展圖形練習時，經歷了如下過程：

（1）操作發現：點為直線上一點，過點作射線，使將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方，如圖：將圖1中的三角板繞點旋轉，當直角三角板的邊在的內部，且恰好平分時，如圖2．則下列結論正確的是 （填序號即可）.

①②③平分④的平分線在直線上

（2）數學思考：同學們在操作中發現，當三角板繞點旋轉時，如果直角三角板的邊在的內部且另一邊在直線AB的下方，那么與的差不變，請你說明理由；如果直角三角板的、邊都在的內部，那么與的和不變，請直接寫出與的和，不要求說明理由．

（3）類比探索：三角板繞點繼續旋轉，當直角三角板的邊在的內部時，如圖3，求與相差多少度？為什么？

Answer 1

【答案】（1）①②④；（2）如果直角三角板的邊在的內部且另一邊在直線AB的下方，那么與的差不變，理由見解析；如果直角三角板的、邊都在的內部，那么與的和不變，+=30°;③30°.

【解析】

（1）利用角平分線的定義結合直角三角板的內角度數即可分別判斷得出答案；
（2）當直角三角板的邊在的內部且另一邊在直線AB的下方時根據∠COM=120°-∠BOM，∠BON=90°-∠BOM，可得出結果；當直角三角板的、邊都在的內部時，∠COM+∠BON=∠BOC-∠MON，可得出結果；
（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．

解：（1）∵，平分，∴，故①正確；

∵，，∴，，∴，故②正確；

∵，，∴不平分，故③錯誤；

∵，，∴，∴的平分線在直線上，故④正確；

故答案為：①②④.

（2）與的差不變.理由如下：當直角三角板的邊在的內部且另一邊在直線AB的下方時，

∵∠COM=∠BOC-∠COM=120°-∠BOM，
∠BON=∠MON-∠BOM=90°-∠BOM，
∴∠COM-∠BON=120°-90°=30°；
與的和不變，其和為30°.理由如下：當直角三角板的、邊都在的內部時，∠COM+∠BON=∠BOC-∠MON=120°-90°=30°.

（3）∵，，

∴．