Question

【題目】設a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數，試判斷an+bn與cn的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：當n=1，則a+b＞c；
當n=2，則a2+b2=c2；
當n≥3，則an+bn＜cn ，
證明如下：
∵sinA=，cosA=，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，
∴an+bn＜cn ．
【解析】分類討論：當n=1，根據三角形三邊的關系有a+b＞c；當n=2，根據勾股定理有n2+b2=c2；當n≥3，根據三角函數的定義得到
sinA= ， cosA= ， 且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，即可得到它們的關系．
【考點精析】本題主要考查了銳角三角函數的增減性的相關知識點，需要掌握當角度在0°~90°之間變化時：（1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（4）余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）才能正確解答此題．