Question

如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上，有一個動點P，PH⊥OA，垂足為H，△PHO的中線PM與NH交于點G．
（1）求證：=2；
（2）設PH=x，GP=y，求y關于x的函數解析式，并寫自變量x的取值范圍；
（3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接MN，利用NH、PM是三角形的中線，求證△OMN∽△OHP，然后根據相似三角形對應邊成比例即可求得=2；
（2）根據勾股定理求出OH，然后可得MH，再利用勾股定理求出MP的長，然后可得y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；
（3）此小題應采用分類討論的思想解答，當GP=PH，PH=GH，GP=GH，分別求出線段PH的長．
解答：（1）證明：連接MN，
∵NH、PM是三角形的中線，
∴G是△OPH的重心，
∴=2；

（2）解：在Rt△OPH中，
OH==，
MH=OH=，
在Rt△MPH中，MP==，
∴y=GP=MP=，（0＜x＜6）
答：y關于x的函數解析式是y=，自變量x的取值范圍（0＜x＜6）；

（3）解：△PGH是等腰三角形有三種可能情況：
①GP=PH，即=x，
解得x=，
②PH=GH，即x=2，
③GP=GH，即=2，解得x=0（舍去），
綜上所述，如果△PGH是等腰三角形，那么線段PH的長等于PH=GH，即或2．
答：線段PH的長是或2．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，有一定的拔高難度，屬于難題．