Question

先觀察下列等式，再回答問題

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

1+1

=1

1

2

；

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

2+1

=1

1

6

；

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

3+1

=1

1

12

．
（1）根據上面三個等式提供的信息，請猜想

1+ 1 92 + 1 102

=______．
（2）請按照上面各等式反映的規律，試寫出用n（n為正整數）表示的等式，并加以驗證．

Answer 1

（1）

1+ 1 92 + 1 102

=1

1

90

．
故答案為1

1

90

；

（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n(n+1)

（n為正整數）．驗證如下：
∵

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

1+ (n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

1+ 2n2+2n+1 n2(n+1)2

=

1+ 2n(n+1) n2(n+1)2 + 1 n2(n+1)2

=

1+ 2 n(n+1) + 1 n2(n+1)2

=

[1+ 1 n(n+1) ]2

=1+

1

n(n+1)

∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n(n+1)

．