Question

我們知道，對于二次函數y=a（x+m）²+k的圖象，可由函數y=ax²的圖象進行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我們稱函數y=ax²為“基本函數”，而稱由它平移得到的二次函數y=a（x+m）²+k為“基本函數”y=ax²的“朋友函數”．左右、上下平移的路徑稱為朋友路徑，對應點之間的線段距離稱為朋友距離．
由此，我們所學的函數：二次函數y=ax²，函數y=kx和反比例函數都可以作為“基本函數”，并進行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相應的“朋友函數”．
如一次函數y=2x-5是基本函數y=2x的朋友函數，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路徑可以是向右平移1個單位，再向下平移3個單位，朋友距離=．
（1）探究一：小明同學經過思考后，為函數y=2x-5又找到了一條朋友路徑為由基本函數y=2x先向______，再向下平移7單位，相應的朋友距離為______．
（2）探究二：已知函數y=x²-6x+5，求它的基本函數，朋友路徑，和相應的朋友距離．
（3）探究三：為函數和它的基本函數，找到朋友路徑，并求相應的朋友距離．

Answer 1

解：（1）y=2（x+1）-7，
∴向左平移1個單位；
朋友距離為=5；

（2）基本函數為y=x²；
∵原拋物線的頂點坐標為（0，0），新拋物線的頂點坐標為（3，-4），
∴朋友路徑為先向右平移3個單位，再向下平移4個單位；
相應的朋友距離=5；

（3）函數可化為y=+3，
∴朋友路徑為先向左平移1個單位，再向上平移3個單位．相應的朋友距離為=．
分析：（1）把y=2x-5換一種方法拆分，保證最后的常數項為-7，朋友距離等于兩次移動距離的平方和的算術平方根；
（2）基本函數只包括二次項的系數，并且二次項的系數不變；找到新拋物線的頂點坐標即可求得朋友路徑，朋友距離等于兩次移動距離的平方和的算術平方根；
（3）把所給函數進行拆分，同理得到朋友路徑與距離．
點評：解決本題的關鍵是理解所給范例中的朋友函數和朋友距離的概念，并結合其余函數的特點在其余函數中加以運用．