Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，點C在BA的延長線上．

（Ⅰ）若∠C＝∠DAB，求證：CE是⊙O的切線；

（Ⅱ）若OF＝2，AF＝3，求EF的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連接OE，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°．∠AOE＝2∠ADE，根據切線的判定定理即可得到結論；

（Ⅱ）連接AE，根據圓周角定理得到∠1＝∠B．根據相似三角形的性質即可得到結論．

（Ⅰ）連接OE，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°．

∴∠DAB+∠B＝90°，

∵∠ADE和∠AOE都對著，

∴∠AOE＝2∠ADE，

又∵∠B＝2∠ADE，

∴∠AOE＝∠B，

又∵∠C＝∠DAB，

∴∠C+∠AOE＝∠DAB+∠B＝90°．

∴∠CEO＝90°，

∴OE⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（Ⅱ）連接AE，

∵ ＝ ，

∴∠1＝∠B．

由（Ⅰ）知∠AOE＝∠B，

∴∠1＝∠AOE，

又∵∠2＝∠2，

∴△EAF∽△OAE，

∴，

即，

∴EF＝AE，AE2＝3×5＝15，

∴EF＝EA＝．