Question

 如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD ⊥ x軸于點D,交線段OB于點E，已知CD=8,拋物線經過O、E、A三點。

（1）       ∠OBA=       °．

（2）       求拋物線的函數表達式。

（3）       若P為拋物線上位于第一象限內的一個動點，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應的點P有且只有3個？

 

Answer 1

(1)∠OBA=90°

(2)連接OC，如圖所示，

∵由(1)知OB ⊥ AC，又AB=BC，

∴OB是的垂直平分線，

∴OC=OA=10，

在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，

∴C(6，8)，B(8，4)

∴OB所在直線的函數關系為y=x，

又E點的橫坐標為6，∴E點縱坐標為3

即E(6,3)．

拋物線過O(0，0)，E(6,3) ，A(10，0)

∴設此拋物線的函數關系式為y=ax(x－10)，把E點坐標代入得

3=6a(6－10)，解得a=－

∴此拋物線的函數關系式為y=－x(x－10)，即y=－x²＋x．

(4)  設點P(p，－p²＋p)

①     若點P在CD的左側，延長OP交CD于Q，如右圖，

OP所在直線函數關系式為：y=(－p＋)x

∴當x=6時，y=，即Q點縱坐標為，

∴QE=－3=，

S_{四邊形POAE}

= S_△OAE ＋S_△OPE

= S_△OAE ＋S_△OQE－S_△PQE

=  · OA ·DE ＋ · QE · P_x

=×10×3＋ ·()· p

=

②  若點P在CD的右側，延長AP交CD于Q，如右圖，

P(p，－p²＋p)，A(10,0)

∴設AP所在直線方程為：y=kx＋b，把P和A坐標代入得，

 ，解得，

∴AP所在直線方程為：y=x＋，

∴當x=6時，y=· 6＋=P，即Q點縱坐標為P，

∴QE=P－3，

∴S_{四邊形POAE}

= S_△OAE ＋S_△APE

= S_△OAE ＋S_△AQE －S_△PQE

= ·OA ·DE ＋ · QE·DA－ · QE·(P_x －6)

=×10×3＋ · QE ·(DA－P_x ＋6)

=15＋ ·(p－3)·(10－p)

=

=

∴當P在CD右側時，四邊形POAE的面積最大值為16，此時點P的位置就一個，

令=16，解得，p=3 ± ，

∴當P在CD左側時，四邊形POAE的面積等于16的對應P的位置有兩個，

綜上知，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積S等于16時，相應的點P有且只有3個．