Question

【題目】如圖1，點A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥y軸于D．

（1）求m的值和直線AB的函數關系式；

（2）動點P從O點出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線OD﹣DB向B點運動，同時動點Q從O點出發，以每秒1個單位長度的速度沿折線OC向C點運動，當動點P運動到D時，點Q也停止運動，設運動的時間為t秒．

①設△OPQ的面積為S，寫出S與t的函數關系式；

②如圖2，當的P在線段OD上運動時，如果作△OPQ關于直線PQ的對稱圖形△O′PQ，是否存在某時刻t，使得點O′恰好落在反比例函數的圖象上？若存在，求O′的坐標和t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=8，直線AB的解析式為y=﹣x+9；

（2）①S=t×8=4t（4＜t≤4.5）；

②存在，O′（4，2）．

當t=個長度單位時，O′恰好落在反比例函數的圖象上．

【解析】

試題分析：（1）由于點A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數y=的圖象上，根據反比例函數的意義求出m，n，再由待定系數法求出直線AB的解析式；

（2）①由題意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面積公式可求出解析式；

②通過三角形相似，用t的代數式表示出O′的坐標，根據反比例函數的意義可求出t值．

試題解析：（1）∵點A（8，1）、B（n，8）都在反比例函數y=的圖象上，

∴m=8×1=8，∴y=，∴8=，即n=1，

設AB的解析式為y=kx+b，

把（8，1）、B（1，8）代入上式得：

，解得：．

∴直線AB的解析式為y=﹣x+9；

（2）①由題意知：OP=2t，OQ=t，

當P在OD上運動時，

S==t2（0＜t≤4），

當P在DB上運動時，

S=t×8=4t（4＜t≤4.5）；

②存在，

當O′在反比例函數的圖象上時，

作PE⊥y軸，O′F⊥x軸于F，交PE于E，

則∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，

由題意知：∠PO′Q=∠POQ，∠QO′F=90°﹣∠PO′E，

∠EPO′=90′﹣∠PO′E，

∴△PEO′∽△O′FQ，

∴，

設QF=b，O′F=a，

則PE=OF=t+b，O′E=2t﹣a，

∴，

解得：a=，b=，

∴O′（t， t），

當O′在反比例函數的圖象上時，

，

解得：t=±，

∵反比例函數的圖形在第一象限，

∴t＞0，∴t=．∴O′（4，2）．

當t=個長度單位時，O′恰好落在反比例函數的圖象上．