Question

（8分）如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q．

（1）求證：OP=OQ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點A出發，以1厘米/秒的速度向D運動（不與D重合）．設點P運動時間為t秒，請用t表示PD的長；并求t為何值時，四邊形PBQD是菱形．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）PD=8-t ；t=s．

【解析】

試題分析：（1）先根據四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根據O為BD的中點得出△POD≌△QOB，即可證得OP=OQ；

（2）根據已知條件得出∠A的度數，再根據AD=8cm，AB=6cm，得出BD和OD的長，再根據四邊形PBQD是菱形時，利用勾股定理即可求出t的值，判斷出四邊形PBQD是菱形．

試題解析：（1）證明：因為四邊形ABCD是矩形，

所以AD∥BC，

所以∠PDO=∠QBO，

又因為O為BD的中點，

所以OB=OD，

在△POD與△QOB中，

∠PDO=∠QBO，OB=OD，∠POD=∠QOB，

所以△POD≌△QOB，

所以OP=OQ．

（2）【解析】
PD=8-t，

因為四邊形PBQD是菱形，

所以PD=BP=8-t，

因為四邊形ABCD是矩形，

所以∠A=90°，

在Rt△ABP中，

由勾股定理得： ，

即 ，

解得：t= ，

即運動時間為秒時，四邊形PBQD是菱形．

考點：矩形的性質；菱形的性質；全等三角形的判斷和性質勾股定理．