Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，P是斜邊BC的中點，以P為頂點的直角的兩邊分別與邊AB，AC交于點E，F，連接EF。當∠EPF繞頂點P旋轉時(點E不與A，B重合)，△PEF也始終是等腰直角三角形，請你說明理由。

Answer 1

解：連接PA，PA是等腰△ABC底邊上的中線。

∴PA⊥PC(等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合)。

又AB⊥AC， ∴∠l=90°－∠PAC，∠C=90°－∠PAC，

∴∠l=∠C(等量代換)．

同樣，由PA⊥PC，PE⊥PF可得∠2=∠3。

由PA是Rt△ABC斜邊上的中線，得

(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)。  

在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，

∴△PAE≌△PCF(ASA)．

∴PE=PF(全等三角形對應邊相等)。 

因此，△PEF始終是等腰直角三角形。