Question

已知?ABCD兩鄰邊是關于x的方程x²-mx+m-1=0的兩個實數根．
（1）當m為何值時，四邊形ABCD為菱形？求出這時菱形的邊長．
（2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？

Answer 1

解：（1）若四邊形為菱形，則方程兩實根相等．
∴△=m²-4（m-1）=0
∴m²-4m+4=0
∴m₁=m₂=2
∴方程化為x²-2x+1=0
解得：x₁=x₂=1
∴菱形邊長為1．

（2）由AB=2知方程的一根為2，將x=2代入得，4-2m-1=0，
解得：m=3此時方程化為：x²-3x+2=0，
解得（x-1）（x-2）=0
解得：x₁=1，x₂=2
∴C_{平行四邊形ABCD}=2×（1+2）=6．
分析：（1）根據根的判別式得出△=m²-4（m-1）=0即可得出m的值，進而得出方程的根得出答案即可；
（2）由AB=2知方程的一根為2，將x=2代入得，4-2m-1=0，解出m的值，此時方程化為：x²-3x+2=0，得出方程根，進而得出C_{平行四邊形ABCD}．
點評：此題主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性質等知識，正確應用菱形的性質得出是解題關鍵．