Question

如圖,方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF=4．求：
cos∠F的值；BE的長．

Answer 1

cos∠F的值；
解：(1)連結OE.∵DF切半圓于E，∴∠OEF=90°，在正方形ABCD中，AB=AD，
∠DAF=90°，
∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F為公共角，
∴△OEF∽△DAF. ………………2分
∴.即AF="2EF." ………………3分
∵DF切半圓O于E，∴EF²=FB·FA=BF·2EF，∴EF=2BF=8，AF=2EF=16.∴AB=AF－BF=12，FO=AB+BF=×12+4=10.在Rt△OEF中，
cos∠F=.…………………………5分
(2). BE的長．
連結AE，∵DF切半圓于E，∴∠EAF=∠BEF.∵∠F=∠F，∴△BEF∽△EAF.
∴.   ……………………………6分
設BE=k(k＞0)，則AE=2k，∵AB為半圓O的直徑，∴∠AEB=90°.
在Rt△AEB中，AE²+BE²=AB²，（2k）²+k²=12²,∴BE=k=. ……………………8分

略