Question

【題目】如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；

②連接MN，分別交AB、AC于點D、O；

③過C作CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD．

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；

（2）當∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周長為18時，求四邊形ADCE的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）24．

【解析】

（1）利用直線DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，從而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE是菱形.
（2）利用當∠ACB=90°時，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相似三角形的性質和勾股定理得出OD和AO的長，即根據菱形的性質得出四邊形ADCE的面積.

（1）證明：由題意可知：

∵分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；

∴直線DE是線段AC的垂直平分線，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；

且AD=CD、AO=CO，

又∵CE∥AB，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△COE中

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴OD=OE，

∵A0=CO，DO=EO，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

又∵AC⊥DE，

∴四邊形ADCE是菱形；

（2）解：當∠ACB=90°時，

OD∥BC，

即有△ADO∽△ABC，

∴

又∵BC=6，

∴OD=3，

又∵△ADC的周長為18，

∴AD+AO=9，

即AD=9﹣AO，

∴

可得AO=4，

∴DE=6，AC=8，

∴