Question

如圖，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)．動點P從O點出發，以每秒3個單位的速度，沿△OAB的邊0A、AB、B0作勻速運動；動直線l從AB位置出發，以每秒1個單位的速度向x軸負方向作勻速平移運動．若它們同時出發，運動的時間為t秒，當點P運動到O時，它們都停止運動．
(1)當P在線段OA上運動時，求直線l與以P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范圍；
(2)當P在線段AB上運動時，設直線l分到與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形?若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線l的出發時間，使得四邊形CPBD會是菱形．

Answer 1

（1）當點P在線段OA上時，P(3t，0)，      …………………………………1分
⊙P與x軸的兩交點坐標分別為(3t－1，0)、(3t＋1，0)，直線l為x＝4－t，
若直線l與⊙P相交，則．          ………………………………………3分
解得＜t＜．                                ………………………………………5分
（2）點P與直線l運動t秒時，AP＝3t－4，AC＝t，若要四邊形CPBD為菱形，則
CP∥OB，
∴∠PCA＝∠BOA，∴Rt△APC∽△ABO，∴＝，∴＝，解得t＝………6分
此時，AP＝，AC＝，∴PC＝，而PB＝7－3t＝≠PC，故四邊形CPBD不可能是菱形                                      …………………………………………7分
（上述方法不唯一，只要推出矛盾即可）
現改變直線l的出發時間，高直線l比點P晚出發a秒，
若四邊形CBPD為菱形，則CP∥OB，
∴Rt△APC∽△ABO，∴＝＝，∴＝＝，
即，解得
只要直線l比點P晚出發秒，則當點P運動秒時，四邊形CPBD就是菱形……………10分

解析