Question

如圖AB是⊙O的直徑，PA，PC與⊙O分別相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E．
（1）求證：∠EPD=∠EDO；
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線長定理和切線的性質即可證明：∠EPD=∠EDO；
（2）連接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再證明△OED∽△DEP，根據相似三角形的性質和勾股定理即可求出OE的長．
解答：（1）證明：PA，PC與⊙O分別相切于點A，C，
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO；

（2）解：連接OC，
∴PA=PC=6，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，
∴CD=4，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，
∵∠EPD=∠ODE，
∴△OED∽△DEP，
∴，
在Rt△OED中，OE²+DE²=5²，
∴OE=．
點評：本題綜合考查了切線長定理，相似三角形的性質和判定，勾股定理的應用，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，通過做此題培養了學生的分析問題和解決問題的能力．