Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D為BC邊的任意一點，以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點E、F，且∠EDF與∠A互補．
（1）如圖1，若AB=AC，D為BC的中點時，則線段DE與DF有何數量關系？請直接寫出結論；

（2）如圖2，若AB=kAC，D為BC的中點時，那么（1）中的結論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出DE與DF的關系并說明理由；

（3）如圖3，若 =a，且 =b，直接寫出 = ．

Answer 1

【答案】
（1）解：結論：DF=DE，

理由：如圖1，連接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，則∠EMD=∠FND=90°，

∵AB=AC，點D為BC中點，

∴AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∵在四邊形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，

∴∠MAN+∠MDN=180°，

又∵∠EDF與∠MAN互補，

∴∠MDN=∠EDF，

∴∠EDM=∠FDN，

在△DEM與△DFN中，

，

∴△DEM≌△DFN，

∴DE=DF．

（2）解：結論DE：DF=1：k．

理由：如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，則∠EMD=∠FND=90°，

∵BD=DC，

∴S△ABD=S△ADC，

∴ ABDM= ACDN，∵AB=kAC，

∴DN=kDM，

由（2）可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90°，

∴△DME∽△DNF，

∴ = = ．

（3）
【解析】（3）結論： = ．

理由：如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，同（2）可證∠EDM=∠FDN，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△DEM∽△DFN，

∴ = ，

∵ =b，

∴S△ABD：S△ADC=b，

∴ ABDM： ACDN=b，∵AB：AC=a，

∴DM：DN= ，

∴ = = ．

所以答案是 ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．