Question

【題目】學習幾何的一個重要方法就是要學會抓住基本圖形，讓我們來做一次研究性學習．

（1）如圖①所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規，我們常把這樣的圖形叫做“規形圖”．請你觀察“規形圖”，試探究∠BOC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由：

（2）如圖②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它們相交于點O，試探究∠BOC與∠A的關系；

（3）如圖③，若△ABC中，∠ABO=∠ABC，∠ACO=∠ACB，且BO、CO相交于點O，請直接寫出∠BOC與∠A的關系式為　　　　_．

Answer 1

【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由見解析；

（2）∠BOC=90°+∠A．理由見解析；

（3）∠BOC=60°+∠A．理由見解析.

【解析】

（1）如圖1，連接AO，延長AO到H．由三角形的外角的性質證明即可得到結論：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）利用角平分線的定義，三角形的內角和定理證明可得到結論：∠BOC=90°+∠A；
（3）類似（2）可證明結論：∠BOC=60°+∠A．

解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．
理由：

如圖1，連接AO，延長AO到H．

∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，
∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，
∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）∠BOC=90°+∠A．
理由：

如圖2，

∵OB，OC是△ABC的角平分線，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，

∴∠BOC=90°+∠A；
（3）∠BOC=60°+∠A．
理由：

∵∠ABO=∠ABC，∠ACO=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A=60°+∠A．
故答案為：∠BOC=60°+∠A．