Question

如果一條直線能夠將一個封閉圖形的周長和面積同時平分，那么就把這條直線稱作這個封閉圖形的二分線．

（1）請在圖1的三個圖形中，分別作一條二分線．
（2）請你在圖2中用尺規作圖法作一條直線 l，使得它既是矩形的二分線，又是圓的二分線．（保留作圖痕跡，不寫畫法）．
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在過AB邊上的點P的二分線？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）（2）如圖所示：
．

（3）不存在，
理由：當P為AB的中點，則S_△CBP=S_△ACP，
但是BP+BC≠AP+AC，
∴不存在過AB邊上的點P的二分線．
分析：（1）圓過圓心畫直線，平行四邊形過對角線畫直線，三角形做底邊的垂直平分線；
（2）作出圓的圓心，再作出矩形的對角線，過矩形對角線交點和圓心畫直線即可；
（3）利用中線的性質分析得出即可．
點評：此題主要考查了應用設計作圖以及中線的性質等知識，根據新定義分別分析得出是解題關鍵．