Question

某公司生產的某種時令商品每件成本為20元，經過市場調研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量m（件）與時間t（天）的關系如圖．未來40天內，前20天每天的價格y₁（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y1=

1

4

t+25（1≤t≤20，且t為整數），后20天每天的價格30元/件 （21≤t≤40，且t為整數）．下面我們就來研究銷售這種商品的有關問題：
（1）認真分析上表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據的m（件）與t（天）之間的關系式；
（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（a＜4）給希望工程．公司通過銷售記錄發現，前20天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數關系式；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據函數性質求最大值后比較得結論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據函數性質求a的取值范圍．

解答：解：（1）經分析知：m與t成一次函數關系．設m=kt+b（k≠0），
將

t=2 m=92

，

t=4 m=88

代入

2k+b=92 4k+b=88

，
解得

k=-2 b=96

，
∴m=-2t+96．            （3分）

（2）前20天日銷售利潤為P₁元，后20天日銷售利潤為P₂元，
則P1=(-2t+96)(

1

4

t+25-20)
=-

1

2

t2+14t+480=-

1

2

(t-14)2+578
∴當t=14時，P₁有最大值，為578元．                       （6分）
P₂=（-2t+96）•（30-20）=-20t+960
∵當21≤t≤40時，P₂隨t的增大而減小，
∴t=21時，P₂有最大值，為540元．
∵578＞540，
∴第14天日銷售利潤最大．                   （10分）

（3）P1=(-2t+96)(

1

4

t+25-20-a)
=-

1

2

t2+(14+2a)t+480-96a（12分）
對稱軸t=14+2a，
因為a=-

1

2

，只有當t≤2a+14時，P隨t的增大而增大
 又每天扣除捐贈后的日利潤隨時間t的增大而增大，
故：20≤2a+14  
∴a≥3，
即a≥3時，P₁隨t的增大而增大，
又a＜4，
∴4＞a≥3．              （14分）

點評：本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：
（1）熟練掌握各函數的性質和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗證其正確性；
（2）最值問題需由函數的性質求解時，正確表達關系式是關鍵．同時注意自變量的取值范圍．