Question

夜晚，小明在路燈下散步．若小明身高1.5m，路燈的燈柱高4.5m．
（1）如圖1，若小明在相距10米的兩路燈AB、CD之間行走（不含兩端），他在路燈AB下的影子為FM，在路燈CD下的影子為FN．解答問題：
①若BF=4，求影子FM．②猜想影子FM與FN的長的和為定值嗎？說出理由．
（2）有言道：形影不離．其原意為：人的影子與自己緊密相伴，無法分離．但在燈光下，人的速度與影子的速度卻不是一樣的！如圖2，若小明在燈柱PQ前，朝著影子的方向（如圖箭頭），以0.8米/秒的速度勻速行走，試求他影子的頂端R在地面上移動的速度．

Answer 1

分析：（1）①易得△EMF∽△AMB，利用對應邊成比例可得FM的長；
②同法得到比例式，進行等量代換，利用等比性質可得相關數值；
（2）利用相似的代數式表示出人走的路程及影子移動的路程，根據時間相等可得相應速度．

解答：解：（1）①∵AB∥EF，
∴△ABM∽△EFM．
∴

EF

AB

=

FM

MB

，
解得：FM=2；
②同理可得

EF

CD

=

NF

ND

，
∵AB=CD，
∴

FM

MB

=

NF

ND

=

1

3

∴

FM+NF

MB+ND

=

1

3

，

MN

10+MN

=

1

3

，
解得：MN=5，
∴影子FM與FN的長的和為定值5；

（2）根據題意設小明由F到B，則影子是從N到C．
由（1）可知

EF

PQ

=

FN

QN

，

AB

PQ

=

BC

QC

，
∵AB=EF，
∴

FN

QN

=

BC

QC

=

1

3

，
設FN=k，BC=b，
∴QN=3k，QC=3b，
∴FB=2（b-k），
NC=3（b-k），
設影子的速度為y，

3(b-k)

y

=

2(b-k)

0.8

，
解得y=1.2．
答：影子的速度為1.2米/秒．

點評：考查相似三角形的應用；用到的知識點為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對應邊成比例；得到用字母表示的影子走過的路程及人走過的路程是解決本題的突破點．