Question

（2012•六盤水）如圖1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果點P由B出發沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BC．
（2）設△AQP面積為S（單位：cm²），當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
（4）如圖2，把△AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′．那么是否存在某時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由PQ∥BC時的比例線段關系，列一元一次方程求解；
（2）如解答圖1所示，過P點作PD⊥AC于點D，構造比例線段，求得PD，從而可以得到S的表達式，然后利用二次函數的極值求得S的最大值；
（3）要點是利用（2）中求得的△AQP的面積表達式，再由線段PQ恰好把△ABC的面積平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于0，則可以得出結論：不存在這樣的某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分；
（4）首先根據菱形的性質及相似三角形比例線段關系，求得PQ、QD和PD的長度；然后在Rt△PQD中，求得時間t的值；最后求菱形的面積，值得注意的是菱形的面積等于△AQP面積的2倍，從而可以利用（2）中△AQP面積的表達式，這樣可以化簡計算．

解答：解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形，∠C為直角．

（1）BP=2t，則AP=10-2t．
∵PQ∥BC，∴

AP

AB

=

AQ

AC

，即

10-2t

10

=

2t

8

，解得t=

20

9

，
∴當t=

20

9

s時，PQ∥BC．

（2）如答圖1所示，過P點作PD⊥AC于點D．
∴PD∥BC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

，
即

10-2t

10

=

PD

6

，
解得PD=6-

6

5

t．
S=

1

2

×AQ×PD=

1

2

×2t×（6-

6

5

t）
=-

6

5

t²+6t
=-

6

5

（t-

5

2

）²+

15

2

，
∴當t=

5

2

s時，S取得最大值，最大值為

15

2

cm²．

（3）假設存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則有S_△AQP=

1

2

S_△ABC，而S_△ABC=

1

2

AC•BC=24，∴此時S_△AQP=12．
由（2）可知，S_△AQP=-

6

5

t²+6t，
∴-

6

5

t²+6t=12，化簡得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，此方程無解，
∴不存在某時刻t，使線段PQ恰好把△ABC的面積平分．

（4）假設存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t．
如答圖2所示，過P點作PD⊥AC于點D，則有PD∥BC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

=

AD

AC

，即

10-2t

10

=

PD

6

=

AD

8

，
解得：PD=6-

6

5

t，AD=8-

8

5

t，
∴QD=AD-AQ=8-

8

5

t-2t=8-

18

5

t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8-

18

5

t）²+（6-

6

5

t）²=（2t）²，
化簡得：13t²-90t+125=0，
解得：t₁=5，t₂=

25

13

，
∵t=5s時，AQ=10cm＞AC，不符合題意，舍去，∴t=

25

13

．
由（2）可知，S_△AQP=-

6

5

t²+6t，
∴S_{菱形AQPQ′}=2S_△AQP=2×（-

6

5

t²+6t）=2×[-

6

5

×（

25

13

）²+6×

25

13

]=

2400

169

（cm²）．
所以存在時刻t，使四邊形AQPQ′為菱形，此時菱形的面積為

2400

169

cm²．

點評：本題是非常典型的動點型綜合題，全面考查了相似三角形線段比例關系、菱形的性質、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法與判別式、二次函數的極值等知識點，涉及的考點眾多，計算量偏大，有一定的難度．本題考查知識點非常全面，是一道測試學生綜合能力的好題．